EQUAÇÃO DE ONDAS DE GRACELI.

G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

G = OPERADOR DE GRACELI EM ESTADOS QUÂNTICOS QUÍMICO RELATIVÍSTICOS.

E = ENERGIA DO SISTEMA DOS ESTADOS E SEUS POTENCIAIS DE INTERAÇÕES DE CAMPOS E ENERGIAS  E TRANSFORMAÇÕES.

ψ  = função de ondas. 

μ = potencial químico.

h = constante de Planck.

c = velocidade da luz.

[ξ ]=  interações das forças fundamentais = eletromagnética, forte e fraca.

[,ς] = valência, distribuição eletrônica, níveis e subníveis de energia, estado molecular e de interações entre partículas,  potencial químico dos elementos químicos, potencial de interações e transformações entre campos e partículas,  potencial de transformações de elétrons, átomo, e elementos químicos, e outros.

EQUAÇÃO DE ONDAS DE GRACELI.

G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

G = OPERADOR DE GRACELI EM ESTADOS QUÂNTICOS QUÍMICO RELATIVÍSTICOS.

E = ENERGIA DO SISTEMA DOS ESTADOS E SEUS POTENCIAIS DE INTERAÇÕES DE CAMPOS E ENERGIAS  E TRANSFORMAÇÕES.

ψ  = função de ondas. 

μ = potencial químico.

h = constante de Planck.

c = velocidade da luz.

[ξ ]=  interações das forças fundamentais = eletromagnética, forte e fraca.

[,ς] = valência, distribuição eletrônica, níveis e subníveis de energia, estado molecular e de interações entre partículas,  potencial químico dos elementos químicos, potencial de interações e transformações entre campos e partículas,  potencial de transformações de elétrons, átomo, e elementos químicos, e outros.

 

   EQUIVALÊNCIA  GRACELI ONDAS - ENERGIA.

G ψ  = E ψ  = [Ϡ ]   [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

ESTATÍSTICA GRACELI.

1 / G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c [-1] .

em que  é a degenerescência quântica do estado ,  é a energia do estado ,  é o potencial químico, e , em que  é a constante de Boltzmann[1]

EQUIVALÊNCIA MOMENTUM = ONDAS.

MO = G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

EQUIVALÊNCIA 

MASSA = ONDAS.

COMPRIMENTO = ONDAS.

ENERGIA = ONDAS.

E = M=COMPRIM. = G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

 [Ϡ ] = DENSIDADE DE ESTADOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS NORMAIS E DE PLASMAS E ESTADO CONDENSADO, ESTADO DE DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA E NÍVEIS DE ENERGIA, ESTADO MOLECULAR E ESTRUTURAL, DE LIGAMENTOS  E INTERAÇÕES DE CAMPOS E ENERGIAS,  DE POTENCIAL QUÍMICO, DE TRANFORMAÇÕES,  DE ENERGIA DE LIGAÇÃO, DE POTENCIAL DE FUSÃO, POTENCIAL DE SOLIDIFICAÇÃO, E OUTROS, COMO OS DAS DEZ DIMENSÕES DE GRACELI.

Forma matemática da equação do campo de Einstein

A equação do campo de Einstein descreve como o espaço-tempo se curva pela matéria e, reciprocamente, como a matéria é influenciada pela curvatura do espaço-tempo, ou digamos, como a curvatura dá lugar à gravidade.

A equação do campo se apresenta como se segue:

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$ / 

               G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

onde o tensor ${\displaystyle G_{\mu \nu }\ }$ é a curvatura de Einstein, uma equação diferencial de segunda ordem em termos do tensor métrico ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, e ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ é o tensor de energia-momento. A constante de acoplamento se dá em termos de ${\displaystyle \pi }$ é Pi, ${\displaystyle c}$ é a velocidade da luz e ${\displaystyle G}$ é a constante gravitacional.

O tensor da curvatura de Einstein se pode escrever como

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}}$ / 

                G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

onde além disso ${\displaystyle R_{\mu \nu }\ }$ é o tensor de curvatura de Ricci, ${\displaystyle R}$ é o escalar de curvatura de Ricci e ${\displaystyle \Lambda }$ é a constante cosmológica.

A equação do campo portanto também pode apresentar-se como se segue:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$ / 

               G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ é um tensor simétrico 4 x 4, assim que tem 10 componentes independentes. Dada a liberdade de escolha das quatro coordenadas do espaço-tempo, as equações independentes se reduzem em número a 6.

Estas equações são a base da formulação matemática da relatividade geral.

Interpretacão geométrica da Equação de Einstein

A Teoria da relatividade mostra que a massa dos corpos depende do observador, pois esta varia com sua velocidade aparente, tal como no conceito de simultaneidade, e portanto também o espaço que se observa (formado por todos os eventos simultâneos). Assim, a equação de Einstein pode enunciar-se também afirmando que para cada observador, a curvatura escalar ${\displaystyle \kappa }$ do espaço é proporcional à densidade aparente ${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle \kappa =16\cdot G\pi c^{-2}\rho \ }$ / 

          G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

onde c = 3 × 10¹⁰ [cm s^-1] é a velocidade da luz e G = 6,67 × 10^-8 [cm³ s^-2 g^-1] é a constante da gravitação universal. De acordo com o significado geométrico da curvatura escalar, esta igualdade afirma que em uma esfera de massa M e densidade constante, o excesso radial (a diferença entre o raio real e o raio que corresponderia na geometria euclidiana a uma esfera de igual área) é igual a

${\displaystyle \Delta R=GM/(3c^{2})}$ / 

             G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

Por exemplo, no caso da Terra o excesso radial é de 0,15 cm e no caso do Sol é de aproximadamente 500 metros.

É notável que, esta equação, que introduz mínimas correções nas fórmulas da geometria euclidiana, atinja quase todas as equações conhecidas da Física macroscópica. Com efeito, quando a velocidade da luz c tende ao infinito, dela se derivam a Lei newtoniana da Gravitação, a Equação de Poisson e, portanto, o caráter atrativo das forças gravitacionais, as equações da mecânica dos fluidos (equação de continuidade e equações de Euler), as leis de conservação da massa-energia e do momento, o caráter euclidiano do espaço, etc..

Igualmente se derivam todas as leis de conservação relativísticas, e que a existência de campos gravitacionais e de massa só são possíveis quando o espaço tem dimensão maior que 2. Mais ainda, se supõe que o espaço tem dimensão 4 (as três que vemos habitualmente mais uma pequeníssima dimensão circular extra, aproximadamente do tamanho do chamado comprimento de Planck ~ ${\displaystyle 10^{-33}}$ cm) da equação de Einstein se deduzem a teoria clássica do electromagnetismo: as equações de Maxwell e, portanto, a lei de Coulomb, a Conservação da carga elétrica e a lei de Lorentz.

Equações de Einstein-Maxwell

Se o tensor energia-momento ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ é aquele de um campo eletromagnético, i.e. se o tensor momento-energia eletromagnético

${\displaystyle T_{ab}=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}(F_{a}{}^{s}F_{sb}+{1 \over 4}F_{st}F^{st}g_{ab})}$ / 

          G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

é usado, então as equações de campo de Einstein são chamadas equações Einstein-Maxwell:

${\displaystyle R_{ab}-{1 \over 2}Rg_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}(\,F_{a}{}^{s}F_{sb}+{1 \over 4}F_{st}F^{st}g_{ab})\ }$ / 

               G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .      

A piezoelectricidade é uma combinação de efeitos do comportamento elétrico do material:^[3]

$${\displaystyle D=\varepsilon E+eS\;}$$

           / G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

Nessa equação, D é o deslocamento elétrico, ε é a permissividade elétrica, E representa o campo elétrico, 'e' representa a constante de stress e S é a tensão longitudinal aplicada.

Quando a aplicação de uma força F, o centro de equilíbrio das cargas positivas e negativas é deslocado, causando a polarização do material, e o consequente deslocamento de corrente.

Similarmente, considerações para o caso quando um campo elétrico E é aplicado mostram que um termo referente a stress adicional, -eE, aparece. Tem-se então a Lei de Hooke, T = cS:

$${\displaystyle T=cS-eE\;}$$

/  G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

Se as cargas de moléculas positivas e negativas possuem magnitudes diferentes, há uma polarização espontânea. Se uma molécula possui um momento de dipolo, este material exibe uma polarização iônica. Já no caso onde há somente um tipo de elemento, mas este é polarizável, temos o efeito de polarização eletrônica.

A piezoeletricidade apresenta relação entre propriedades elétricas (E, D) e mecânicas (S, T). O modelo de um sólido piezoelétrico apresenta quatro diferentes relações entre variáveis. Assumimos que ${\displaystyle T=T(S,E)}$ e ${\displaystyle D=D(S,E)}$. Assim, temos

$${\displaystyle dT=\left({\frac {\partial T}{\partial S}}\right)dS+\left({\frac {\partial T}{\partial E}}\right)dE}$$

 / G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

$${\displaystyle dD=\left({\frac {\partial D}{\partial S}}\right)dS+\left({\frac {\partial D}{\partial E}}\right)dE}$$

 / G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

onde todos os outros efeitos, tais como magnéticos e térmicos, assim como termos não-lineares, são ignorados.

Considerando o caso onde ao campo elétrico é aplicado sobre o material piezoelétrico (ao se colocar um material piezoelétrico num campo elétrico externo, as cargas elétricas da rede cristalina interagem com o mesmo e produzem tensões mecânicas), os segundos termos das equações acima enunciam o stress ou a tensão elétrica no material. Se o material não está confinado mecanicamente, a tensão será uma força de reação a força imposta pelo stress. Desta forma, a tensão altera a relação D e E, e assim a medição das propriedades elétricas dependentes das propriedades mecânicas. Do mesmo modo, uma tensão elétrica alterará a medição de propriedades mecânicas dependentes das propriedades elétricas. Em ambos os casos, isso demonstra a essência do acoplamento piezoelétrico. Para uma análise mais detalhada, deve-se comparar diferentes materiais piezoelétricos para identificar sua performance. Fatores como a eficiência do acoplamento a vibrações mecânicas, vibrações com campos elétricos externos, direção de aplicação do campo elétrico externo e demais, são resultados a serem considerados.

Num material piezoelétrico também interessam os seguintes coeficientes:

• Coeficiente de acoplamento eletro-mecânico:

${\displaystyle K^{2}}$ é definido como a variação de energia mecânica convertida em carga pela energia mecânica aplicada ao cristal, ou de modo similar, a energia elétrica convertida em energia mecânica pela energia elétrica aplicada ao cristal.

• Coeficiente Dielétrica: esta grandeza relaciona a quantidade de carga que uma das faces do cristal pode armazenar em relação à carga total armazenada, e que pode ser dissipada como corrente real. Existem duas constantes dielétricas: uma é a constante para o cristal livre e outra para o cristal bloqueado:

${\displaystyle \varepsilon _{l}(1-K^{2})=\varepsilon _{b}}$ / G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

Forma escalar da lei

A forma escalar fornece a magnitude do vetor da força eletrostática ${\displaystyle F}$ entre duas cargas pontuais q₁ e q₂ mas não sua direção. Se ${\displaystyle r}$ é a distância entre as cargas, a magnitude da força é

${\displaystyle |\mathbf {F} |=k_{\text{e}}{|q_{1}q_{2}| \over r^{2}}\qquad }$/ 

               G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

Onde:

• ${\displaystyle k_{e}}$ é a Constante de Coulomb (${\displaystyle k_{e}}$ = 8.9875517873681764×10⁹ N⋅m²⋅C⁻² );
• ${\displaystyle q_{1}}$ e ${\displaystyle q_{2}}$ são as magnitudes sinalizadas das cargas, expressas em Coulomb (C)
• a força eletrostática é dada em Newtons (N )

Forma vetorial da lei

A lei de Coulomb afirma que a força eletrostática ${\displaystyle F}$₁ experimentado por uma carga, q₁ na posição ${\displaystyle r}$₁ nas proximidades de outra carga, q₂ na posição ${\displaystyle r}$₂ no vácuo é igual a:

Diagrama que descreve o mecanismo básico da lei de Coulomb. As cargas iguais se repelem e as cargas opostas se atraem

${\displaystyle \qquad \mathbf {F} _{1}=k_{\text{e}}{\frac {q_{1}q_{2}}{{|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}}\mathbf {\widehat {r}} _{12},\qquad }$/ 

G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

Onde:

• o escalar ${\displaystyle r}$ é a distância entre as cargas, dada em metros (m)
• o vetor ${\textstyle r_{12}=r_{1}-r_{2}}$ é a distância vetorial entre as cargas, e ${\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}={\frac {\mathbf {r_{12}} }{\mathbf {|r_{12}|} }}}$ (um vetor de unidade apontando de ${\textstyle q_{2}}$ a ${\textstyle q_{1}}$).
• a força eletrostática é dada em Newtons (N)

A forma vetorial da lei de Coulomb é simplesmente a definição escalar da lei com a direção dada pelo vetor unitário, ${\displaystyle {\hat {r}}}$₁₂, paralelo com a linha de carga q₂ a carga q₁.^[14] Se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal (como cargas), o produto q₁q₂ é positivo e a direção da força sobre q₁ é dado por ${\displaystyle {\hat {r}}}$₁₂ as cargas repelem. Se as cargas tiverem sinais opostos, o produto q₁q₂ é negativo e a direção da força sobre q₁ é -${\displaystyle {\hat {r}}}$₁₂ as cargas se atraem.

A força eletrostática ${\displaystyle F}$2 experimentado por q₂, de acordo com a terceira lei de Newton , é ${\displaystyle F}$2 = ${\displaystyle -F}$1.

No sistema CGS de unidades, que adota cm, g, s como unidades básicas, toma-se ${\displaystyle k=1}$ para interação entre cargas no vácuo, e define-se a unidade de carga como aquela que exerce uma força de 1 dina sobre outra carga idêntica à distância de 1 cm.^[13]

Constante de Coulomb

Ver artigo principal: Constante de Coulomb

A constante de Coulomb é um fator de proporcionalidade que aparece na lei de Coulomb, bem como em outras fórmulas relacionadas à eletricidade. O valor dessa constante depende do meio em que os objetos carregados estão imersos. Denotada, também é chamada de constante de força elétrica ou constante eletrostática,^[15] daí o subscrito ${\displaystyle e}$.

Antes da redefinição das unidades do SI, a constante de Coulomb no vácuo era considerada como tendo um valor exato:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{\text{e}}&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}={\frac {c_{0}^{2}\mu _{0}}{4\pi }}=c_{0}^{2}\times 10^{-7}\ {H\cdot m}^{-1}\\&=8.987\,551\,787\,368\,176\,4\times 10^{9}\ {N\cdot m^{2}\cdot C}^{-2}.\end{aligned}}}$ / 

G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

Desde a redefinição,^[16][17] a constante de Coulomb não é mais exatamente definida e está sujeita ao erro de medição. Conforme calculado a partir dos valores recomendados do CODATA 2018, a constante de Coulomb é^[18]

${\displaystyle k_{\text{e}}=8.987\,551\,792\,3\,(14)\times 10^{9}\ {N\cdot m^{2}\cdot C}^{-2}}$ / 

G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

Em unidades Gaussianas e unidades Lorentz-Heaviside , que são ambos sistemas de unidades CGS , a constante tem diferentes valores adimensionais .

Em unidades electrostáticas ou unidades gaussianas a unidade de carga ( ESU ou statcoulomb ) é definida de tal modo que a constante de Coulomb desaparece, uma vez que tem o valor de um e torna-se adimensional.

${\displaystyle k_{\text{e}}=1}$ (Unidades gaussianas).

Em unidades de Lorentz-Heaviside, também chamadas de unidades racionalizadas , a constante de Coulomb é adimensional e é igual a:

${\displaystyle k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi }}}$ (Unidades Lorentz-Heaviside) / 

G ψ  = E ψ  =  [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c .

As unidades gaussianas são mais adequadas para problemas microscópicos, como a eletrodinâmica de partículas individuais eletricamente carregadas.^[19] As unidades SI são mais convenientes para fenômenos práticos de grande escala, como aplicações de engenharia.^[20]